Андрей Васильевич Мягков родился 8 июля 1938 года в Ленинграде, в семье профессора Политехнического института.
Окончил Ленинградский химико - технологический институт.
Окончил Школу-студию при МХАТ (1965).
С 1965-1977 гг. – актер театра "Современник".
С 1977 года – МХАТ имени Горького (с 1989 года – имени А.П. Чехова).
В школьные годы Андрей тяготел к техническим наукам, но в старших классах увлекся театром, стал посещать драматический кружок, где играл главные роли в спектаклях. Тем не менее, после окончания школы Андрей Мягков поступил в Ленинградский химико-технологический институт. После окончания института он был направлен на работу в институт пластических масс.
В 1961 году в Ленинград приехали преподаватели Театрального училища имени Немировича-Данченко в поисках талантливой молодежи. Мягков решил попробовать свои силы и, успешно пройдя три отборочных тура, был принят на учебу.
Закончил Мягков Школу-студию МХАТ в 1965 году и был принят в труппу театра "Современник".
Одной из первых работ актёра на сцене "Современника" стала роль Дядюшки в спектакле "Дядюшкин сон" по Ф.М. Достоевскому. Именно в этой роли его заметил Элем Климов и предложил главную роль в картине "Похождения зубного врача. Так состоялся дебют Мягкова в кино.
Но первой серьёзной ролью молодого артиста стала роль Алёши Карамазова в картине Ивана Пырьева "Братья Карамазовы", вышедшей на экраны 1969 году. В театре в это время Мягков был занят в спектаклях "На дне" (Барон), "Обыкновенная история",...
